Taş, Kağıt ve Makas Oyununda Strateji Kurmak

0
825

İçindekiler

Taş, Kağıt ve Makas Oyunu

Birçok Amerikan filminde zorlu bir görevi kimin yapacağı konusunda anlaşmazlığa düşen iki film karakteri göz göze gelir. Kısa bir sessizlik sonrası anlaşmazlığı çözmek “bir, iki, üç der ve elleriyle taş, kağıt ya da makas anlamına gelen şeyler yaparak kazananı belirlemeye çalışırlar. Türkçeye Taş, Kağıt, Makas oyunu  olarak çevirebilecek (Rock, Paper and Scissors Game -kısaca RPS) oyununda kaybeden kişi istemeye istemeye görevi yapmaya gider.

Taş, kağıt ve makas oyunu oyun teorisinin; en az iki oyuncu olma, oyuncuların elde ettiği getirilerin diğer oyuncuların hamlesinden etkilenmesi gibi unsurları içerdiğinden oyun teorisi şeklinde modellenebilen ve çözülebilen de bir oyundur.

Taş, Kağıt ve Makas Oyunu Nasıl Oynanır?

Oyun teorisi bağlamında taş, kağıt, makas oyunu; iki oyuncunun eş anlı olarak hamlede bulunduğu bu oyunda her oyuncu diğer oyuncunun ve kendisinin hamlesinden elde edeceği getiriyi bilmektedir. İki oyuncu aynı anda bir iki üç diye sayar ve elleri ile seçtiği hamleyi birbirlerine gösterirler. Oyunda hamle tercihlerinin, birbirlerine göre üstünlüğü ve dezavantajı bulunmaktadır.

  • Taş, makası kırar. (Taş, kazanır)
  • Makas, kağıdı keser. (Makas, kazanır)
  • Kağıt, taşı sarar. (Kağıt, Kazanır)
  1. Taş > Makas
  2. Makas > Kağıt
  3. Kağıt > Taş

Ahmet ve Kemal’in oynadığı örnek bir oyunda Ahmet Taş, Kemal Makas seçerse; oyunu Ahmet kazanır. Ahmet ve Kemal aynı anda (Taş,Taş); (Kağıt, Kağıt) veya (Makas, Makas) seçerse oyun berabere biter.

Oyunun Çözümü

Bu oyunun çözümünü bulabilmek için kesin domine edilen stratejilerin elenmesi yöntemini kullanmaya çalıştığınızda oyunda saf bir stratejinin bulunmadığını görürsünüz. Saf strateji olmamasına rağmen Nash teorisine göre sonlu bir oyunda en azından bir saf strateji Nash dengesi (pure strategy Nash equilibrium) veya karma strateji Nash dengesine (mixed strategy Nash equilibrium) ulaşılmalıdır. RPS de sonlu bir oyun ve hamle sayısına sahip olduğundan bu oyunun da bir çözümü olmalıdır.

Nash dengesini bulmak istediğinizde ise oyun size üç farklı Saf Strateji Nash dengesi verirken bunlardan hangisinin kullanılacağını bulabilmek için ise karma strateji Nash dengesinin bulunması gerekmektedir. Karma strateji Nash dengesi bulabilmek için de hamlelere ilişkin olasılıkların bilinmesi ve buna göre beklenen getiriler hesaplanmalıdır. (Kişinin hangi hamleyi yapacağına ilişkin olasılıkların tahmin edilmesi güç olsa da bazı insanların benzer döngüler izlemesi olasılıklara ilişkin tahmin yapmamızı sağlayabilir!)

Kemal’in veya Ahmet’in hamle tercihleri konusunda bilgimiz olmadığından hamlelerine (r), (s), ve (1-r-s) gibi olasılıklar atanırsa oyunun karma strateji Nash dengesi çözümü konusunda ilk adım atılmış olur.  Oyunda getiriler simetrik olduğundan bir oyuncu için bulunan çözüm diğer oyuncu için de geçerli olacaktır.

  • r = Kemal’in (ya da Ahmet’in) taş seçme ihtimalidir.
  • s = Kemal’in (ya da Ahmet’in) kağıt seçme ihtimalidir.
  • 1-r-s = Kemal’in (ya da Ahmet’in) makas seçme ihtimalidir.
Kemal
r s 1-r-s
Ahmet Taş Kağıt Makas
Taş 0,0 -1,1 1,-1
Kağıt 1,-1 0,0 -1,1
Makas -1,1 1,-1 0,0
  • Ahmet Taş, hamlesinde bulunursa beklediği getiri = r(0) + s(-1)+ (1-r-s)(1) = -s+1-r-s = 1-2s-r
  • Ahmet, Kağıt hamlesinde bulunursa beklediği getiri =  r(1) + s(0)+ (1-r-s)(-1) = r + r +s -1 = 2r+s-1
  • Ahmet, Makas hamlesinde bulunursa beklediği getiri =  r(-1) + s(1)+ (1-r-s)(-0) = -r+s

Her hamlenin beklenen getirisinin birbirine eşit olduğunu bildiğimizden denklemler üzerinden yeniden bir düzenleme yaparsak;

Makas hamlesinin beklenen getirisi = Taş hamlesinin beklenen getirisi

1 – 2s – r  = -r + s

1=3s

  • Kağıt oynama ihtimali —-> s=1/3 olur
  • Taş oynama ihtimali —-> r=1/3 olur
  • Makas oynama ihtimali —-> 1-r-s = 1/3 olur

Teoriden Pratiğe Taş-Kağıt-Makas Oyunu

Oyunda her hamlenin beklenen getirisi aynı olduğundan her hamlenin oynanma olasılığı doğal olarak 1/3’tür. Bu akla yatkın bir çözümdür. RPC oyununda sürekli kağıt oynayan bir oyuncu olduğunuz bilinirse sizinle oynayan kişiler sürekli makas seçmeye başlar ve her zaman kaybedersiniz! Oyunda stokastik tercihlerde bulunmanız yani karşı rakibin sizin hareketinizi tahmin edememesi her zaman için daha iyi bir sonuç üretecektir. (Tahmin edilemez olun!)

Oyunda stokastik bir tercih yapısına sahip olmak oyunun Nash dengesidir. Rasyonel oyuncular tarafında her hamle eşit olasılıkla yani 1/3 olasılıkla oynanır/oynanmalıdır.

Oyun teorisi çerçevesinde oluşturulan birçok model, laboratuvar veya saha deneyleri yürütülerek de araştırılmaktadır. Oyun teorik modeller gerçek hayatta da aynı sonucu vermekte midir sorusuna yanıt aranır. İnsanların geleneksel neoklasik iktisat teorisinin temel varsayımlarından rasyonelliği pek sağlamadığı hatta sınırlı rasyonel olduğuna ilişkin birçok kanıt sunulmuştur. Bu açıdan Taş, Kağıt, Makas oyunu da iktisat, sosyoloji, biyoloji gibi bazı alanlarda deneylere konu olan bir oyundur.

Taş – Kağıt – Makas Oyunu Deneyi

Taş, Kağıt Makas oyunu oynayan oyuncular ile oyunun nash dengesi arasında ilişki olup olmadığını sınayan bir deney Çin’de gerçekleştirilmiştir. 360 öğrencinin katılımcı olduğu deneyin sonuçları bilim camiasında oldukça etkili “Nature” dergisinde raporlanmıştır.

Deney tasarımı şu şekildedir. Öğrenciler altışar olacak şekilde gruplara ayrılmış ve 60 grup oluşturulmuştur. Daha sonra her altışar kişilik grubun kendi içinde RPS oyununu oynamaları istenmiştir. İktisatta deneysel çalışmalarda oyuncuların rasyonel olarak tercihte bulunmalarını teşvik etmek amacıyla çeşitli ödüller veya parasal teşvik kullanımı bir norm haline geldiğinden bu deneyde de oyunculara kazandıkları oyun başına ödeme yapılmıştır.

Oyunun teorik öngörüsünde göre her hamle eşit olasılıkla oynanmalıdır. Araştırmanın sonucuna göre ise eğer bir oyuncu rasyonel olmayan şekilde kazandığı hamleyi tekrarlama eğilimde tam tersinde kaybettiği hamleyi ise hemen değiştirme eğilimindedir. Strateji basitçe;

  • Kazandın – > aynı hamle ile devam et
  • Kaybettin – > hamleyi değiştir gibi bir döngüdedir.

Bu bulguyu genellememiz gerekirse bir oyunda rakibinizin kazandığı hamleyi tekrar oynama ihtimali, kaybettiği hamleyi oynama ihtimaline göre daha fazla olabilir. Bu bilgiyi kullanarak rakibinizi yenme ihtimalinizi de arttırırsınız. Oyunu yakın arkadaşlarınız ile oynayarak siz de ufak bir deney gerçekleştirebilirsiniz. Şimdiden bol şanslar 🙂

Wang, Z., Xu, B., & Zhou, H. J. (2014). Social cycling and conditional responses in the Rock-Paper-Scissors game. Scientific reports4, 5830.

Subscribe
Bildir
guest

0 Yorum
Inline Feedbacks
View all comments