İçindekiler
Waldegrave Problemi
Pierre R’emond de Montmort’un 1713’te ikinci baskısı yayınlanan kitabı “Essay d’analyse sur les jeux de hazard” beşinci bölümü içinde Montmort ve Nicolaus Bernoulli arasında olasılık problemlerinin hesaplanması konusunda mektuplaşmaların da bulunduğu bir bölüm vardır. Bu mektuplaşmalar 1710 yılında başlamış ve 1713 yılına kadar devam etmiştir. Bu mektuplaşmalar içinde Montmort, Nicolas Bernoulli’ye “Le Her” isimli Fransız kart oyunu hakkında arkadaşı Francis Waldergrave’in analizlerinden bahsetmektedir. 13 Kasım 1713 tarihli mektupta Montmort, Waldergrave’in “Le Her” ile ilgili iki-oyunculu bir minmax oyununun karma strateji çözümünü sunar.
Waldergrave’in çözüm aradığı soru şudur: İki oyuncunun olduğu “Le Her” oyununda kartları dağıtanın mı oyunu kazanma ihtimali yüksektir? Alıcı durumunda olanın mı kazanma olasılığı daha yüksektir?
Le Her Oyunu
“Le Her” oyunundan bahsedelim. Le Her, 52 kağıtlı iskambil destesi ile oynanmaktadır. Kağıtlar as’tan papaz’a kadar farklı değerler alır. As, bir değerini diğer kağıtlar da sırayla 2,3,4……., Erkek “Jack” 10 değerini , Kız “Quenn” 12 değerini ve Papaz “King” 13 değerini alır.
Oyunda iki oyuncu vardır. Her oyuncu kart veren (oyunu kuran) Dağıtıcı (krupiyer gibi) ya da oyunu kabul eden Alıcı olabilir. Kurallar ise basittir:
- 1. Her oyuncu kapalı şekilde bir kart alır. Oyuncular sadece kendi kağıdını görebilir. Diğer oyuncular bunu göremez.
- 2a. Alıcı, eğer isterse, aldığı kağıdı dağıtıcı ile değiştirebilir.
- 2b. Eğer dağıtanın elindeki kart Papaz ise, değiş tokuş geçersiz olur. Her iki oyuncu da kendi kartlarını tutmaya devam eder.
- 3a. Sonra eğer dağıtıcı isterse kendi elindeki kağıdı üçüncü bir kart için (ilk kağıt veya alıcı ile değiştirdiği kağıt) bırakabilir.
- 3b. Eğer yeni kart Papaz ise, dağıtan kişinin aldığı kart geçersiz sayılır ve bir önceki kağıdını tutmaya devam etmek zorundadır.
Kağıtlar dağıtıldıktan sonra açılır ve en yüksek değere sahip kartın sahibi oyunu kazanır. Eğer iki kişide de aynı kart var ise, dağıtıcı kazanmış sayılır.
Bu oyunu nasıl oynarsınız? Dağıtıcı mı? Alıcı mı olmak daha mantıklıdır?
Waldergrave Probleminin Çözümü
Oyunun çözümü büyük bir olasılık hesaplamasını gerektirmektedir. Her oyuncu eline gelebilecek 13 kağıt için “devam” ya da “tamam” kararı vermek zorunda olduğundan ve oyunda iki oyuncu bulunduğundan 2 üzeri 13 X 2 üzeri 13 bir çözüm ve getiri matrisi oluşmaktadır. Oyunun uzun çözümü konusunda birçok çalışma Melvin Dresher’in ” The Mathematics of Games of Strategy” kitabını referans göstermektedir. (Uzun çözüm konusunda meraklı olanlar araştırabilir)
Çözümün olasılık hesaplarının bir kısmı yapıldıktan sonraki aşamaları ise şöyledir:
Getiri matris, dominant stratejiler kullanılarak daraltılmaktadır.
“Rasyonel bir insan eline üç geldiğinde kağıt değiştirmemeyi isteyip başka bir elde eline 4 gelince kağıdı değiştirmek istemez. Rasyonel birinin tercihleri söz konusu olduğunda 4 her zaman 3’e tercih edilecektir.“
Alıcının Rasyonel Kararı
Kesin domine edilen stratejilerin elenmesinden ve bazı matematiksel işlemlerden sonra “Alıcı” için en rasyonel kararın 8 ve/veya üzerinde kart gelmesi durumunda yeni kart istemesi olduğu sonucuna ulaşılır. Alıcı, altı ve daha düşük değerde bir kart gelmesi durumunda ise yeni kart istemelidir.
Dağıtıcının Rasyonel Kararı
“Dağıtıcı” söz konusu olduğunda ise eline gelen kartlara göre (Eğer alıcı kart değiştirmek isterse ya da istemez ise ) dokuz ve üzeri bir kart gelirse yeni kart istememeli; yedi ve altında bir kart geldiğinde ise yeni kart istemelidir.
Buraya kadar kesin domine edilen stratejiler ile oyuncuların hangi kartlar geldiğinde ne yapacakları sorusu cevaplandı. Fakat dikkat edilirse alıcı için yedi geldiğinde, dağıtıcı için ise sekiz geldiğinde ne yapılacağı sorusu muammadır. Kısaca bu kartlar geldiğinde oyunun çözümünü Nash dengesine götürebilecek saf strateji bulunmamaktadır. İki oyuncu da bu değerlerde kart geldiğinde bir karma strateji uygulamak zorundadır (işin içine olasılık hesaplamaları girer)
Bir minmax oyununda Alıcı için oyunun getiri matrisi 2 x 2 matris haline gelir.
Sıfır toplamlı bir oyun olduğundan Dağıtıcı için de oyunun matrisi aynı ama Alıcı ile ters işaretli olur. Yani alıcının 16 kazanması durumunda dağıtıcı -16 getiri alır
Alıcı ve Dağıtıcı açısından doğru stratejiye karma strateji ile ulaşılır. Dağıtıcı eline sekiz geldiğinde 3/8 ihtimalle kağıtta kalacak, 5/8 ihtimalle kağıt değiştirecektir.
Alıcı, kendisine yedi geldiğinde 5/8 ihtimalle yediyi elinde tutar; 3/8 ihtimalle kağıdı değiştirir. Bu ihtimaller de katılarak oyunun getiri matrisi yeniden hesaplanır. Oyunda kimin üstün taraf olduğu ile ilgili olasılık hesaplamaları yapıldığında Dağıtıcının oyunu kazanma ihtimalinin yüzde 48.7, Alıcının oyunu kazanma ihtimalinin de yüzde 51.3 olduğu sonucuna ulaşılır. Neden Alıcının kazanma ihtimali yüksektir? Burada Alıcının kazanma ihtimalinin kısmen daha yüksek olmasının nedeni; oyunun yapısı gereği ilk hareketi, Alıcının seçiyor olmasından kaynaklamaktadır. Bu yüzden oyunda kısmen oyunda üstünlük elde etmektedir.
Bu oyunu arkadaşlarınızla oynamak isterseniz Alıcının oyunda üstün olduğunu bu üstünlüğün onun ilk hareketi yapan olmasından kaynaklandığını unutmayın:)
Bellhouse, D. R., & Fillion, N. (2015). Le Her and other problems in probability discussed by Bernoulli, Montmort and Waldegrave. Statistical Science, 30(1), 26-39.
